对所有的$r$,级数$\sum \frac{r^n}{n!}$和$\sum \frac{r^n}{n^n}$都收敛，而级数$\sum n!r^n$和$\sum n^nr^n$除了$r=0$之外，对所有的$r$都发散.

证明:

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{r^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{r^{n}}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{r}{n}=0

\end{equation}

且

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{r^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{r^n}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}r(\frac{n}{n+1})^n

\frac{1}{n+1}=0

\end{equation}

因此$\sum \frac{r^n}{n!}$和$\sum \frac{r^n}{n^n}$都收敛.

而当$r\neq 0$时，

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!r^{n+1}}{n!r^n}=\lim_{n\to\infty}(n+1)r=\infty

\end{equation}

且

\begin{equation}

\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}r^{n+1}}{n^nr^n}=\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^n(n+1)r=\infty

\end{equation}

因此$\sum n!r^n$和$\sum n^nr^n$在$r\neq 0$时都发散.